円周率計算（マチンの公式・ATAN2項）
マチンの公式 π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) で円周率を近似。テイラー級数の項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数と収束過程を表で確認できます。
入力
マチンの公式と逆正接のテイラー級数で円周率πを近似します。級数の項数を入力すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数と収束過程を表示します。
π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239)
arctan(1/x) = 1/x − 1/(3 x^3) + 1/(5 x^5) − 1/(7 x^7) + …
各 arctan 級数に使う項数（1 から 20）を入力してください。
計算結果
項数 10 での円周率の近似値
3.14159265359
真のπとの誤差
8.882e-16
一致桁数（小数）
15
項数
10
公式の内訳
4 arctan(1/5)
0.7895822394
arctan(1/239)
0.004184076002
収束過程
項数を増やすほど近似値が真のπに近づき、誤差が小さくなります。
| 項数 | 近似値 | 誤差 |
|---|---|---|
| 1 | 3.183263598326 | 4.167e-2 |
| 2 | 3.140597029326 | 9.956e-4 |
| 3 | 3.141621029325 | 2.838e-5 |
| 4 | 3.141591772182 | 8.814e-7 |
| 5 | 3.141592682404 | 2.881e-8 |
| 6 | 3.141592652615 | 9.745e-10 |
| 7 | 3.141592653624 | 3.376e-11 |
| 8 | 3.141592653589 | 1.191e-12 |
| 9 | 3.14159265359 | 4.308e-14 |
| 10 | 3.14159265359 | 8.882e-16 |
誤差は近似値と参照値（高精度の円周率）との差の絶対値です。1/5 と 1/239 は小さいため級数の収束が速く、少ない項数で多くの桁が一致します。
計算方法・使い方
- マチンの公式 π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) を使い、各 arctan を逆正接のテイラー級数 arctan(1/x) = 1/x − 1/(3x^3) + 1/(5x^5) − … で計算します。
- 1/5 と 1/239 という小さな値を引数にするため級数の収束が速く、わずかな項数で多くの桁が一致します。
- 項数を増やすと近似値が真の円周率に近づき、誤差（真のπとの差の絶対値）が小さくなる様子を表で確認できます。
- 誤差は参照値との差の絶対値、有効桁数は一致している小数点以下のおおよその桁数です。
- 浮動小数点の精度の限界により、項数を十分に増やすと誤差は最小値付近で頭打ちになります。
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