ラマヌジャンの円周率公式計算

ラマヌジャン型の超高速収束公式で円周率πを近似。項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数を高精度に計算し、各項ごとの収束過程を表で確認できます。

入力

ラマヌジャンが見出した超高速収束の公式で円周率πを近似します。加える項数を入力すると、近似値・真のπとの誤差・正しい桁数が求まります。

項数

項

1 項で約 8 桁、項を 1 つ加えるごとに約 8 桁ずつ正しい桁が増えます。入力できるのは 1 から 20 までです。

3 項で得た円周率の近似値

3.1415926535897932384626490

項数

有効桁数

約 23 桁

真のπとの誤差

5.682e-24

項ごとの収束過程

項番号 k は 0 から始まり、各行はその項まで加えた時点の近似値・誤差・正しい桁数を表します。

項 k	近似値	誤差	正しい桁数
0	3.141592730013	7.64e-8	7
1	3.141592653590	6.40e-16	15
2	3.141592653590	5.68e-24	23

1/π = (2√2 / 9801) × Σ (4k)!(1103 + 26390k) / ((k!)^4 × 396 の 4k 乗)。桁落ちを避けるため内部は高精度の整数演算で計算しています。

この公式は 1/π を 2√2/9801 と無限級数の積で表し、級数の各項は (4k)! と (1103+26390k) を分子に、(k!)^4 と 396 の 4k 乗を分母に持ちます。
わずか 1 項で約 8 桁、2 項で約 16 桁と、項を 1 つ加えるごとに正しい桁数がおよそ 8 桁ずつ増える超高速収束が特長です。
本ツールは桁落ちを避けるため、内部では整数演算による高精度の固定小数点で級数と平方根を計算しています。
誤差は別途用意した高精度の円周率参照値との差として求め、有効桁数の目安は誤差の大きさから算出しています。
項数を増やしすぎると計算量が急増するため、入力できる項数には上限を設けています。

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