和算式 円周率(π)級数計算
江戸時代の和算家・建部賢弘の加速級数の考え方で、項数を指定して円周率πの近似値と真のπとの誤差を計算します。
入力
項数を入力すると、和算家・建部賢弘の加速級数の考え方で円周率πを近似します。半径1の円について arcsin(1/2) が π/6 に等しいことを利用します。
項数は1以上60以下の整数で指定します。項を増やすほど近似が真のπに近づきます。
計算結果
6項での円周率πの近似値
3.14157121469
真のπとの誤差
0.00002143889965
使用した項数
6
真のπ(参照値)
3.14159265359
各項ごとの収束過程
項を加えるごとに部分和が(π/6)の2乗に近づき、近似値が真のπへ収束していきます。先頭から最大30項まで表示します。
| 項 | その項の値 | πの近似値 | 誤差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.25 | 3 | 0.14159265358979 |
| 2 | 0.020833333333 | 3.122498999199 | 0.01909365439059 |
| 3 | 0.002777777778 | 3.138470965295 | 0.00312168829475 |
| 4 | 0.000446428571 | 3.141030313221 | 0.00056234036908 |
| 5 | 0.000079365079 | 3.141485090117 | 0.00010756347261 |
| 6 | 0.000015031265 | 3.14157121469 | 0.00002143889965 |
級数は (arcsin t) の2乗を冪級数に展開し、t = 1/2 を代入したものです。各係数は前の係数から漸化的に求め、部分和Sから π ≒ 6×√S として近似値を得ます。各項はおよそ4分の1の比で小さくなり速やかに収束します。
計算方法・使い方
- この計算は半径1の円について arcsin(1/2) が π/6 に等しいことを用います。建部賢弘は arcsin を2乗した冪級数を展開し、円周率の高精度な近似を得ました。
- 級数の各項は前の項から漸化的に求められ、項を重ねるごとに部分和Sが (π/6)の2乗 に収束します。最終的に π ≒ 6×√S として近似値を得ます。
- 各項はおよそ4分の1の比で小さくなるため、単純なライプニッツ級数よりはるかに速く収束します。これは江戸期の和算が培った加速法の精神を表しています。
- 関孝和や建部賢弘らの和算は、独自に円周率や級数加速を研究した日本固有の数学体系です。本ツールはその考え方を独自に整理して再構成した教育用の近似計算です。
- 項数を増やすほど真のπとの誤差は急速に縮まります。表で各項ごとの近似値と誤差の変化を観察できます。
関連する計算ツール
円周率計算（ヴィエトの公式）
数学ヴィエトの無限積の公式で円周率πを近似します。項数を入力すると、各部分積と真のπとの誤差を表で確認できます。
計算する →円周率（arctan 4項マチン類似公式）計算
数学4つの arctan 項からなるマチン類似公式で円周率 π を高速に近似。項数を指定すると近似値・真の π との誤差・一致する有効桁数・各項の内訳を表示します。
計算する →ラマヌジャンの円周率公式 計算
数学ラマヌジャン型の超高速収束公式で円周率πを近似。項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数を高精度に計算し、各項ごとの収束過程を表で確認できます。
計算する →円周率計算（マチンの公式・ATAN2項）
数学マチンの公式 π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) で円周率を近似。テイラー級数の項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数と収束過程を表で確認できます。
計算する →
お客様の声
このツールを使った感想をお聞かせください。
レビューを投稿する
- ホーム
和算式 円周率(π)級数計算