円周率 3項アークタンジェント公式 計算
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8) の3項マチン類似公式で、項数を指定して円周率 π を近似します。各 arctan の値・真の π との誤差・正しい有効桁数・収束の過程を表で確認できます。
入力
3項のマチン類似公式で円周率 π を近似します。各アークタンジェントを何項まで足すか（項数）を入力してください。
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
項数は 1 以上 200 以下の整数です。項数を増やすほど近似が真の π に近づきます。
計算結果
各 5 項での π の近似値
3.141739328007
真の π
3.14159265359
絶対誤差
1.4667e-4
正しい有効桁数
4
各アークタンジェント項の値
arctan(1/2)
0.463684275794
arctan(1/5)
0.197395561651
arctan(1/8)
0.124354994557
項数ごとの収束
項数を 1 から増やしたときの π の近似値と、真の π との絶対誤差です。
| 項数 | π の近似値 | 絶対誤差 |
|---|---|---|
| 1 | 3.3 | 1.5841e-1 |
| 2 | 3.1200625 | 2.1530e-2 |
| 3 | 3.145342914062 | 3.7503e-3 |
| 4 | 3.140871041584 | 7.2161e-4 |
| 5 | 3.141739328007 | 1.4667e-4 |
各 arctan は arctan(x) = x − x^3/3 + x^5/5 − x^7/7 + … の級数で計算し、3項の和を4倍して π を求めています。引数が小さいほど収束が速くなります。
計算方法・使い方
- 3項のマチン類似公式 π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8) を使います。
- 各 arctan は冪級数 arctan(x) = x − x^3/3 + x^5/5 − x^7/7 + … を指定した項数だけ計算します。
- 3つの arctan を足し合わせて4倍した値が π の近似値です。
- 引数 1/2・1/5・1/8 が小さいため、少ない項数でも速く収束します。
- 真の π（Math.PI）との絶対誤差から、およその正しい有効桁数を求めます。
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