円周率計算（多角形法・アルキメデス法）
単位円に内接・外接する正多角形の周の長さから円周率πを上下から挟み込んで近似します。辺数を倍々に増やすアルキメデス法の収束過程を表で確認できます。
入力
単位円に内接・外接する正多角形の周の長さから円周率πを挟み込んで近似します。倍化回数を入力してください。
出発点は正六角形（辺数6）。倍化回数だけ辺数が2倍になります。0から25まで指定できます。
計算結果
正96角形による円周率の近似値
3.141873275268
内接値（下界）
3.141031950891
外接値（上界）
3.142714599645
誤差
0.000280621678
円周率πは内接値 3.141031950891 と外接値 3.142714599645 の間にあり、挟み込みの幅は 0.001682648755 です。
倍化ごとの収束過程
辺数を倍々に増やすと内接値と外接値が近づき、誤差が小さくなります。
| 辺数 | 内接値 | 外接値 | 誤差 |
|---|---|---|---|
| 6 | 3 | 3.464101615138 | 0.090458153979 |
| 12 | 3.10582854123 | 3.215390309173 | 0.019016771612 |
| 24 | 3.132628613281 | 3.159659942098 | 0.0045516241 |
| 48 | 3.139350203047 | 3.146086215131 | 0.001125555499 |
| 96 | 3.141031950891 | 3.142714599645 | 0.000280621678 |
内接値 = n×sin(180度/n)、外接値 = n×tan(180度/n)。近似値はこの2つの平均で、真の円周率 3.14159265359 と比較しています。
計算方法・使い方
- 内接正n角形の半周は n×sin(180度/n)、外接正n角形の半周は n×tan(180度/n) で求まり、それぞれπの下界と上界になります。
- 出発点の正六角形から辺数を倍々（6、12、24、48…）に増やすほど多角形は円に近づき、内接値と外接値の差が縮まってπに収束します。
- 主要な近似値は内接値と外接値の平均としています。誤差は平均と真のπとの絶対差です。
- 古代ギリシャのアルキメデスは正96角形を用いてπが約3.1408から3.1429の間にあることを示しました。
関連する計算ツール
円周率計算（ヴィエトの公式）
数学ヴィエトの無限積の公式で円周率πを近似します。項数を入力すると、各部分積と真のπとの誤差を表で確認できます。
計算する →円周率計算（マチンの公式・ATAN2項）
数学マチンの公式 π/4 = 4 arctan(1/5) − arctan(1/239) で円周率を近似。テイラー級数の項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数と収束過程を表で確認できます。
計算する →円周率（arctan 4項マチン類似公式）計算
数学4つの arctan 項からなるマチン類似公式で円周率 π を高速に近似。項数を指定すると近似値・真の π との誤差・一致する有効桁数・各項の内訳を表示します。
計算する →ラマヌジャンの円周率公式 計算
数学ラマヌジャン型の超高速収束公式で円周率πを近似。項数を指定すると、近似値・真のπとの誤差・有効桁数を高精度に計算し、各項ごとの収束過程を表で確認できます。
計算する →
お客様の声
このツールを使った感想をお聞かせください。
レビューを投稿する
- ホーム
円周率計算（多角形法・アルキメデス法）