ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) 計算

次数 n と引数 x を入力すると、ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x)（n=0 はディガンマ関数）を漸化式と漸近展開で高精度に計算します。

入力

ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) は対数ガンマ関数 ln Γ(x) の (n+1) 階導関数です。次数 n と引数 x を入力してください。n=0 でディガンマ関数になります。

次数 n

0 以上の整数（0 はディガンマ）

引数 x

0 以下の整数は極のため不可

ψ⁽0⁾(x) の値

0.7031566406

引数 x = 2.5

ディガンマ ψ(x)

0.70315664

次数 n

漸化式のステップ数

漸化式で引数を 10.5 まで押し上げ、そこで漸近展開を評価して計算しました。

ポリガンマ関数 ψ⁽ⁿ⁾(x) は対数ガンマ関数 ln Γ(x) を (n+1) 回微分したものです。n=0 のとき ψ(x)=Γ′(x)/Γ(x) でディガンマ関数と呼ばれます。
計算は引数 x を漸化式で 10 以上まで押し上げ、そこで漸近展開（ベルヌーイ数を用いるスターリング系列）を評価して元に戻します。
負の引数は漸化式で正側へ移して扱います。x が 0 以下の整数のとき関数は極を持つため計算できません。
次数 n は 0 以上の整数のみ受け付けます。ψ⁽¹⁾ はトリガンマ関数、ψ⁽²⁾ はテトラガンマ関数とも呼ばれます。
代表値の検算: ψ(1)=−γ（オイラー定数）、ψ⁽¹⁾(1)=π²/6、ψ⁽²⁾(1)=−2ζ(3)。

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