ロンバーグ積分計算
f(x) と区間 a〜b、分割レベル k を入力すると、台形則の段階的な細分とリチャードソン補外による高精度な定積分（ロンバーグ積分）を計算します。
入力
被積分関数 f(x) と積分区間、分割レベルを入力すると、ロンバーグ積分（台形則の細分＋リチャードソン補外）で定積分を高精度に数値計算します。
変数は x。四則演算・べき乗（^）・sin・cos・exp・log・sqrt や定数 pi・e が使えます。
1 から 20。レベルが上がるほど精度も高くなります。
計算結果
定積分の近似値 R(k,k)
0.7853981634
区間 a ＝ 0 から b ＝ 1 まで
分割レベル k
6
評価点数
65
推定誤差
1.213030e-11
ロンバーグ補外表
各レベルの台形則 R(i,0) と、その行を補外した最終値 R(i,i) を示します。
| レベル i | 区間数 | 台形則 R(i,0) | 補外値 R(i,i) |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 0.75 | 0.75 |
| 1 | 2 | 0.775 | 0.78333333 |
| 2 | 4 | 0.78279412 | 0.78552941 |
| 3 | 8 | 0.78474712 | 0.78539645 |
| 4 | 16 | 0.7852354 | 0.78539817 |
| 5 | 32 | 0.78535747 | 0.78539816 |
| 6 | 64 | 0.78538799 | 0.78539816 |
計算方法・使い方
- ロンバーグ積分は、区間を 2 のべきで倍々に細分した合成台形則の近似列に、リチャードソン補外を繰り返し施して高次の近似を作る手法です。
- レベル i の行は区間数 2^i の台形則 R(i,0) から始まり、R(i,j) ＝ R(i,j-1) ＋ (R(i,j-1) − R(i-1,j-1)) ／ (4^j − 1) で補外して R(i,i) を得ます。
- 主要結果は最大レベル k における R(k,k) です。被積分関数が十分滑らかなとき、レベルを上げるほど急速に真値へ収束します。
- 推定誤差は R(k,k) と R(k-1,k-1) の差の絶対値で見積もっています。実際の誤差そのものではなく目安です。
- f(x) には x の四則演算・べき乗（^）・sin・cos・tan・exp・log・sqrt・abs などの初等関数と定数 pi・e が使えます。
- 区間に特異点（分母がゼロになる点など）や発散を含むと、評価が非有限になり計算できないことがあります。
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