第1種スターリング数 計算
n と k を入力すると、第1種スターリング数の符号なし c(n,k) と符号付き s(n,k) を漸化式で正確に計算します。BigInt で大きな値も誤差なく表示。
入力
n と k を入力すると、第1種スターリング数を漸化式で計算します。主要数値は符号なし c(n,k) です。
0 以上の整数（170 まで）
0 以上 n 以下の整数
計算結果
符号なし c(6, 3)
225
符号付き s(6, 3)
-225
n
6
k
3
c(6, k) の行（k = 0 から 6）
| k | 符号なし c(n, k) | 符号付き s(n, k) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 120 | -120 |
| 2 | 274 | 274 |
| 3 | 225 | -225 |
| 4 | 85 | 85 |
| 5 | 15 | -15 |
| 6 | 1 | 1 |
計算方法・使い方
- 第1種スターリング数は、組合せ論で n 個の要素を k 個の巡回置換に分割する場合の数（符号なし）を表します。
- 符号なし c(n,k) は漸化式 c(n,k)=c(n-1,k-1)+(n-1)c(n-1,k)、初期値 c(0,0)=1 で計算します。
- 符号付き s(n,k) は s(n,k)=(-1)^(n-k) c(n,k) で与えられ、降冪 x(x-1)…(x-n+1) を x の冪で展開したときの係数になります。
- k=0 のとき c(n,0) は n が 0 のみ 1、それ以外は 0 です。また c(n,n)=1、c(n,1)=(n-1)! が成り立ちます。
- 値は n が大きくなると急速に増大するため、丸め誤差を避けて BigInt で正確に計算しています。
- 入力は 0≤k≤n の整数で、計算量を抑えるため n は 170 までに制限しています。
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