第2種スターリング数 S(n,k) 計算
n個の要素をk個の空でない部分集合に分割する場合の数（第2種スターリング数）を漸化式で厳密に計算。ベル数や各kの値も表示します。
入力
n（要素数）と k（部分集合の個数）を入力すると、第2種スターリング数 S(n,k) を計算します。n個の区別できる要素を空でない k 個の集合に分ける場合の数です。
0 以上 200 以下の整数
0 以上の整数
計算結果
S(5, 2)（k個の空でない部分集合への分割数）
15
ベル数 B(5)（行の総和）
52
要素数 n
5
部分集合の個数 k
2
n = 5 の行 S(n,0) 〜 S(n,n)
| S(n, k) | 値 |
|---|---|
| S(5, 0) | 0 |
| S(5, 1) | 1 |
| S(5, 2) | 15 |
| S(5, 3) | 25 |
| S(5, 4) | 10 |
| S(5, 5) | 1 |
計算方法・使い方
- 第2種スターリング数 S(n,k) は、n個の区別できる要素を、空でない k 個の部分集合に分割する方法の数を表します。
- 漸化式 S(n,k) = k・S(n-1,k) + S(n-1,k-1) で計算します。新しい要素を既存のどれかの集合に入れる（k通り）か、新しい1要素集合を作る場合に対応します。
- 境界条件は S(0,0) = 1、n が正のとき S(n,0) = 0、k が正のとき S(0,k) = 0 です。また k が n より大きいときは 0 になります。
- 各行の総和 S(n,0) + S(n,1) + ... + S(n,n) はベル数 B(n) に等しく、n個の要素のすべての分割の総数を表します。
- 値は急速に増大するため、誤差を避けて多倍長整数（BigInt）で厳密に計算し、結果は文字列として表示します。
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