第2種スターリング数 三角表計算
最大次数 N を入力すると、第2種スターリング数 S(n,k) の三角表を n=0 から N まで生成します。各行の和であるベル数も同時に表示します。
入力
最大次数 N を入力すると、第2種スターリング数 S(n,k) の三角表を n=0 から N まで生成します。各行の和（ベル数）も表示します。
0 以上 30 以下の整数を入力してください。
計算結果
ベル数 B(8)（n=8 行の総和）
4,140
第2種スターリング数 S(n,k) の三角表
| n＼k | k=0 | k=1 | k=2 | k=3 | k=4 | k=5 | k=6 | k=7 | k=8 | ベル数 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | ||||||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | |||||||
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | ||||||
| 3 | 0 | 1 | 3 | 1 | 5 | |||||
| 4 | 0 | 1 | 7 | 6 | 1 | 15 | ||||
| 5 | 0 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 | 52 | |||
| 6 | 0 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 | 203 | ||
| 7 | 0 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 | 877 | |
| 8 | 0 | 1 | 127 | 966 | 1,701 | 1,050 | 266 | 28 | 1 | 4,140 |
各行の右端はその行の総和に等しいベル数です。k が n を超える欄は分割が存在しないため空欄です。
計算方法・使い方
- 第2種スターリング数 S(n,k) は、n 個の区別できる要素を k 個の空でない部分集合に分割する方法の数を表します。組み合わせ論や集合の分割で基本となる数です。
- 本ツールは漸化式 S(n,k) = k * S(n-1,k) + S(n-1,k-1) を用い、初期値 S(0,0)=1、n が1以上のとき S(n,0)=0 として、下三角の表を順に埋めていきます。
- 各値は BigInt（多倍長整数）で計算するため、次数が大きくなっても桁あふれや丸め誤差が発生せず、厳密な整数値が得られます。
- 各行の総和 S(n,0)+S(n,1)+…+S(n,n) はベル数 B(n) に等しく、これは n 要素集合の分割の総数を表します。表の右端列にベル数を併記しています。
- 入力する最大次数 N は 0 以上 30 以下です。表は横方向に列（k）、縦方向に行（n）が並び、k が n を超える部分は分割が存在しないため空欄になります。
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