度数付き二次回帰の計算
度数（重み）付きのデータ点から、重み付き最小二乗法で二次回帰式 y = a + b x + c x² を求めます。係数 a・b・c、決定係数 R²、頂点、総度数を表示し、度数で点の大きさを変えた散布図と放物線を描きます。
入力
(x, y, 度数) のデータ点を 1 行に 1 点で入力してください。度数（重み）を省くと 1 として扱います。重み付き最小二乗法で二次回帰式 y = a + b x + c x² を求めます。
1 行に 1 点。カンマか空白で区切ります。度数を省いた行は度数 1 とみなします。
計算結果
回帰式
y = 4.6971 − 2.8576 x + 1.4745 x²
定数項 a
4.697126
1 次の係数 b
-2.857603
2 次の係数 c
1.474544
決定係数 R²
0.9994
総度数
21
データ点数
6
頂点
( 0.969 , 3.3126 )
2 次の係数が正なので、放物線は下に凸（上向き）です。
散布図と回帰放物線
データと予測値
| 番号 | x | y | 度数 | 予測値 | 残差 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 3.1 | 4 | 3.3141 | -0.2141 |
| 2 | 2 | 5.2 | 6 | 4.8801 | 0.3199 |
| 3 | 3 | 9.1 | 3 | 9.3952 | -0.2952 |
| 4 | 4 | 16.8 | 5 | 16.8594 | -0.0594 |
| 5 | 5 | 27.2 | 2 | 27.2727 | -0.0727 |
| 6 | 6 | 40.9 | 1 | 40.6351 | 0.2649 |
計算方法・使い方
- 各データ点 (x, y) に度数（重み）w を与え、重み付き残差平方和 Σ w (y − (a + b x + c x²))² を最小にする係数 a・b・c を求めます。度数 w は「その点が w 回観測された」という重みとして扱います。
- 偏微分して 0 とおくと、未知数 a・b・c についての重み付き正規方程式（3 元連立 1 次方程式）が得られます。係数の各和には度数 w を掛けます。
- 得られた連立方程式を、部分ピボット選択つきガウスの消去法で解いて a・b・c を求めます。
- 決定係数 R² は、重み付き平均 ybar = Σ w y / Σ w を使い、R² = 1 − Σ w (y − yhat)² / Σ w (y − ybar)² で評価します。1 に近いほどあてはまりが良いことを表します。
- 放物線の頂点は微分 dy/dx = b + 2 c x = 0 を解いて x = −b / (2c) で求めます。c が正なら下に凸、負なら上に凸です。
- 入力は 1 行に 1 点で、x・y・度数 をカンマまたは空白で区切ります。度数を省いた行は度数 1 として扱います。度数は正の値にしてください。
- あてはめには異なる x の値が少なくとも 3 つ必要です。すべての x が同じ場合や、点が一直線・一定値に並ぶ場合は二次の係数が定まらないことがあります。
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